El problema de los tornillos

http://www.elpais.com/videos/sociedad/Pesando/tornillos/elpepusoc/20110526elpepusoc_1/Ves/

Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?

El mínimo número de pesadas es 1. Hay 4 soluciones:

Pesar de las distintas cajas 0,1,2,4,7,13 o bien 0,1,2,7,10,13 o bien 0,3,6,11,12,13 o 0,6,9,11,12,13 tornillos y ver el resultado de la pesada.

Vayamos al caso primero  0,1,2,4,7,13 (Total 27 tornillos) Si todos los tornillos pesaran 5 gr sería 135 gr y si fueran todos 6 gr -> 162 gr.

Esos dos valores no se pueden dar ya que al menos hay 3 tornillos de cada peso, la tabla queda:

  

Caja A      B       C       D       E        F        Suma

Tornillos

Pesados

       1       2       4        7     13        0

 

5	5	5	6	6	6	155
5	5	6	5	6	6	152
5	5	6	6	5	6	146
5	5	6	6	6	5	159
5	6	5	5	6	6	150
5	6	5	6	5	6	144
5	6	5	6	6	5	157
5	6	6	5	5	6	141
5	6	6	5	6	5	154
5	6	6	6	5	5	148
6	5	5	5	6	6	149
6	5	5	6	5	6	143
6	5	5	6	6	5	156
6	5	6	5	5	6	140
6	5	6	5	6	5	153
6	5	6	6	5	5	147
6	6	5	5	5	6	138
6	6	5	5	6	5	151
6	6	5	6	5	5	145
6	6	6	5	5	5	142

A la caja F le he dado el valor 0. Aunque no pesamos ningún tornillo de la caja F su contenido queda determinado por el contenido de las otras 5 cajas ya que han de ser 3 y 3 de cada clase. 

Como vemos cada caso se corresponde con un resultado diferente de la pesada.

¿Cómo han salido estos valores? El primer conjunto son los primeros valores de la secuencia Conway-Guy:

0,1,2,4,7,13,24,44,84,161,309,594,1164,2284,4484,8807,17305,34301,68008,134852, 267420,530356,1051905,2095003,4172701,8311101,16554194

Que tiene la propiedad de que todas las sumas de los diferentes subconjuntos de esos números dan distinto valor. Nos basta en realidad con que las sumas de 3 en 3 den diferente.

Los otros conjuntos de números salen de un programa escrito en C que busca todas las posibles soluciones.

Sumas diferentes que han de verificarse: Combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3 = 20.

Valores posibles a rastrear: Combinaciones de 13 elementos tomados de 5 en 5 =  1287

Resultado del programa 

Funciona 1 2 4 7 13
 Funciona 1 2 7 10 13
 Funciona 3 6 11 12 13
 Funciona 6 9 11 12 13
 Encontrados 4 casos de 1287 probados

10º Problema de El País

http://www.elpais.com/videos/sociedad/rellenar/piezas/tablero/elpepusoc/20110517elpepusoc_1/Ves/

Numeramos las filas y las columnas del 1 al 9 y marcamos todas las que tienen números pares:

• 2,2    2,4    2,6    2,8
• 4,2    4,4    4,6    4,8
• 6,2    6,4    6,6    6,8
• 8,2    8,4    8,6    8,8

Y nos preguntamos: ¿Cuántas piezas de las descritas se pueden encajar en el tablero sin que tengan una de esas casillas y que estén totalmente contenidas en el tablero?

Evidentemente ninguna.

Por tanto cualquier pieza que encajemos tendrá una de esas casillas y por tanto solo podemos encajar 16 piezas.

Cada pieza ocupa 4 casillas que nos da 64 en total y por tanto nos queda 81-64=17 casillas sin ocupar como mínimo.

Pero... ¿se pueden encajar 16 piezas en el tablero?

En el vídeo han puesto un ejemplo y hay varios más.

Así quedan respondidas las dos preguntas.  

He encontrado otro método, pero este es más simple y más claro.

El problema de cubo de suma 0

http://www.elpais.com/videos/sociedad/cubo/suma/cero/elpepusoc/20110505elpepusoc_2/Ves/

No es posible construir un cubo como se describe que dé suma cero.
Hay una suma de 14 términos, ocho vértices y seis caras. Cada término puede valer 1 o -1 pero no son posibles todos los casos. Así mientras el valor 14 es posible, el valor -14 no lo es y sólo puede variar el resultado entre 14 y -10. Valores intermedios solo son posibles algunos, por ejemplo los valores impares no son posible.
El valor 14 corresponde a todos los vértices positivos y el valor -10 a 6 vértices negativos y dos positivos en lugares opuestos del cubo.

Partimos del valor 14 es decir todos unos positivos, la suma es 14. podemos ir cambiando 1 por -1 individualmente cada vértice y ver qué ocurre. (la solución buscada debe ser consecuencia de varios cambios individuales)
En general cambiando un signo de un vértice tenemos 4 cambios.
El del vértice y el de cada una de las tres caras de ese vértice o sea +-1, +-1, +-1, +-1,
Hay tres casos:

1. Que dos cambios vayan en un sentido y otros dos en el contrario lo cual deja las cosas igual (0)
2. Tres cambios en un sentido y el otro en el otro, lo cual nos deja dos cambios en un sentido (+-2)
3. Finalmente los cuatro cambios en el mismo sentido (+-4).

Cada cambio tiene un efecto de multiplicar por dos, es decir aumenta 1 un signo y disminuye 1 del otro. Así cada variación de la suma es de +-4 o +-8

Así las variaciones serán 0,4,8. No siempre será posible esas posibilidades, por ejemplo de 14 solo se puede pasar a 6 pues si todos son +1 y cambiamos uno a -1 nos sale +7 -1 +3 -3. O sea  7 vértices positivos uno negativo, tres caras positivas, tres negativas. Total +6

Los valores posibles de la suma son por tanto 14, 6, 2, -2, -6, -10. No hay más valores posibles pues sumando/restando cuatro no es posible llegar a más valores.

El problema del piano

http://www.elpais.com/videos/sociedad/piano/gigantesco/elpvidsoc/20110428elpepusoc_2/Ves/

A cada tecla le hacemos corresponder uno de los posibles módulos de 7.

1 Do

2 Re

3 Mi

4 Fa

5 Sol

6 La

0 Si

 

Así la secuencia de teclas tocadas sería: 1,2,4.7,11,16,22,29... Pero realmente lo que importa es el módulo pues nos da igual el número entero (que sería la octava).

O sea: 1,2,4,0,4,2,1 A partir de aquí se repite, da igual sumar 8 que 1, 9 que 2, 10 que 3, 11 que 4, etc.

Lo que importa es el módulo para determinar la nota de la tecla. El módulo 7 de 1+2+3+4+5+6+7 es cero luego a partir de la séptima tecla tocada es cíclico. 

1 Do

2 Re

4 Fa

0 Si

4 Fa

2 Re

1 Do

 

Si son 7000 teclas pulsadas tendremos 1000 veces esa secuencia y por tanto 2000 veces tocada la tecla Do.

 

La teclas Mi, Sol y La nunca son tocadas.