5º Problema de El País

 http://www.elpais.com/videos/sociedad/PAIS/palillos/elpepusoc/20110414elpepusoc_2/Ves/

 

Caso 1ª Gana el que consiga dejar al otro un número de palillos múltiplo de cuatro: 4,8,12,16. Siempre podremos ir cogiendo un número de palillos de tal manera que sumemos 4 con los que ha cogido el otro. Así se llega al final  que el otro tiene 4 palillos. Si coge 1,2 o 3 cogemos 3,2 o 1 y ganamos.
En este caso ya que hay 19 palillos gana el que empieza cogiendo 3 palillos y dejando 16 al otro.

Caso 2º Gana el que deje al otro en una situación de dos letras con el mismo número de palillos y las otras letras también con el mismo número de palillos (ambos pares de letras pueden tener diferente número de palillos). Haga lo que haga el otro siempre podremos hacer lo mismo que él hasta coger el último palillo.

En este caso (( 5 y 5) (4 y 5)) gana el que empieza cogiendo un palillo de la letra S y dejándola como la I con 4 palillos. 

 

El segundo caso es mucho más interesante y tiene una solución más general si utilizamos base 2.

 

Supongamos que hay cuatro montones con 1, 2, 4  y 8 palillos. En este caso no podemos dejar emparejados 2 a 2 los cuatro montones.
La solución general consiste en dejar al otro tal distribución de palillos en que la or- exclusiva de cada de la cifras de los números en binario sea 0.

Así 1 = 0001
      2= 0010
      4 = 0100
      8 = 1000
Or exclusiva de 2 ^ 0 = 0*0*0*1 = 1
Or exclusiva de 2 ^ 1 = 0*0*1*0 = 1
Or exclusiva de 2 ^ 2 = 0*1*0*0 = 1
Or exclusiva de 2 ^ 3 = 1*0*0*0 = 1


¿Cómo dejamos todas igual a 0?
Del 4º grupo cogemos un palillo y nos queda 1,2,4,7
Or exclusiva de 2 ^ 0 = 1*0*0*1 = 0
Or exclusiva de 2 ^ 1 = 1*0*1*0 = 0
Or exclusiva de 2 ^ 2 = 1*1*0*0 = 0
Or exclusiva de 2 ^ 3 = 0*0*0*0 = 0

 

 

 

 

 

  

Solución razonada y generalizada al cuadrado mágico multiplicativo 3X3.

En el periódico El País se está publicando cada semana un problema de matemáticas, el tercero es resolver un cuadrado mágico de multiplicaciones cuya casilla central es el número 15.

http://www.elpais.com/videos/sociedad/cuadrado/magico/productos/elpepusoc/20110401elpepusoc_1/Ves/
http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Cuadrado/magico/productos/solucionado/elpepusoc/20110405elpepusoc_2/Tes


En lugar de partir de que la casilla central tiene el valor 15 vamos a dejarla en otra incógnita.
Tenemos tres filas: abc def y ghi. Por tanto "e" es la casilla central. Llamamos p al producto de una fila, columna o diagonal.
Multiplicamos las diagonales y la columna central = p^3
aeicegbeh = p ^ 3.
Ordenamos los factores.
abcghieee = p^3.
Pero abc es una fila = p.
Y ghi también = p
abcghi = p ^2.
Nos queda (p^2) ( e ^3) = p^3; Luego p= e ^3
Ahora nos preguntamos si e puede ser un número primo y la respuesta es no pues solo podemos formar los siguientes números diferentes: e ^0, e^1 e ^2 y e^3. Y nos hace falta 9.
Luego ha de ser compuesto, e = xy. Con x,y podemos formar los siguientes números:
x ^ (0,1,2,3) X y ^(0,1,2,3). En total 16 números diferentes, pero dado que que la casilla central es xy, y coincide con todos los demás números en alguna multiplicación ni x^3 ni y^3 nos sirven ya que el producto final tendría factor x^4 o y^4.
Luego los números han de ser x^(0,1,2) X y^(0,1,2). Total 9 y deben estar todos.
(x^0)(y^0) = 1 y como solo puede formar x^3y^3 con (xy) (x^2y^2) y con (xy^2) (x^2y) no puede estar en un vértice.
Es ya obvia la solución:

Fila 1  xy^2          1          x^2y
Fila 2  x^2           xy         y^2
Fila 3  y           x^2y^2     x



Y para xy=15 o sea x= 3 y = 5 nos sale el cuadrado descrito en la solución del periódico.

Resumen:
Se deduce fácilmente que p = e ^3. e no puede ser un número primo. 1 tiene que formar parte de la solución. 1 debe estar en medio de un lado.